～だす/～はじめる

Which two are almost the same?

a. あめが ふりおえた。
b. あめが ふりだした。
c. あめが ふりはじめた。
d. あめが ふりやんだ。

[verb stem] + 出（だ）す and [verb stem] + 始（はじ）める both mean “to begin to….” so the answer to my question is b and c and they both mean “It started to rain.”

When we talk about rain like the sentence above, 出す and 始める are almost the same but they are not always interchangeable. With the original meaning of 出す being “to put ～ out,” ～出す is usually used when a new phase emerges, often suddenly, regardless of your/speaker’s intention. On the other hand, ～始まる is usually used for somebody’s volitional action.

Examples of ～出す

赤（あか）ん坊（ぼう）が急（きゅう）に泣（な）き出（だ）した。
The baby started to cry suddenly.

バスが突然（とづぜん）動（うご）き出（だ）したので、転（ころ）んでしまった。
As the bus suddenly started to move, I fell over.

弟（おとうと）がいきなり笑（わら）い出（だ）
した。
My younger brother suddenly burst out laughing.

父（ちち）は怒（おこ）り出（だ）すと止（と）まらない。
Once my father starts to get angry, there is no stopping him.

妹（いもうと）はいやいや歩（ある）き出（だ）した。
My younger sister reluctantly started to walk.

車（くるま）を運転（うんてん）していたら、子（こ）どもが飛（と）び出（だ）してきたので怖（こわ）かった。
I got frightened because a child jumped out (to the road) when I was driving around.

Examples of ～始める：

去年（きょねん）フランス語（ご）を勉強（べんきょう）し始（はじ）めた。
I started to study French last year.

小説（しょうせつ）を書（か）き始（はじ）めました。
I started to write a novel.

今朝（けさ）この本（ほん）を読（よ）み始（はじ）めて、さっき読（よ）み終（お）えました。
I started to read this book this morning, and I have just finish reading it.

ようやく飛行機（ひこうき）が飛（と）び始（はじ）めた。
Aeroplanes have finally started to fly.