How do you say “me too” in Japanese?

The correct answer is “わたしも / watashi mo”.

“も / mo” means “too” or “as well” and it replaces the particles “は / wa”, “が / ga” or “を / wo”

わたしはケーキをたべました。おかあさんもケーキをたべました。

watashi wa ke-ki wo tabemashita. Okaasan mo ke-ki wo tabemashita.

I ate a cake. Mum ate a cake, too.

わたしはケーキがすきです。（わたしは）パイもすきです。

watashi wa ke-ki ga suki desu. (watashi wa) pai mo suki desu.

I like cakes. I like pies, too.

わたしはケーキをたべました。（わたしは）パイもたべました。

watashi wa ke-ki wo tabemashita. (watashi wa) pai mo tabemashita.

I ate a cake. I ate a pie, too.

However, “も / mo” does not replace other particles.

わたしはきょうとにいきました。おおさかにもいきました。

watashi wa kyouto ni ikimashita. Oosaka ni mo ikimashita.

I went to Kyoto. I went to Osaka, too.

そのニュースはテレビでみました。ラジオでもききました。

sono nyu-su wa terebi de mimashita. Rajio de mo kikimashita.

I saw that news on TV. I heard it on the radio, too.